Гармонические колебания


Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, то есть такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.
x = Аcos(wоt + jо),
где wоt + jо = j - фаза колебаний;
jо - начальная фаза (при t = 0);
wо - круговая частота колебаний,
А - их амплитуда.
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, то есть положением и скоростью материальной точки в момент t = 0. Величина wо определяет частоту колебаний f = wо/(2p) системы.
Гармонические колебания можно изображать с помощью векторных диаграмм. Этот метод состоит в следующем. От начала оси абсцисс проводится вектор А, проекция которого на ось 0X равна Асоsj.

векторная диаграмма гармонического колебания

Если вектор А равномерно вращается с угловой скоростью wо против часовой стрелки, то wоt + jо = j, где jо - начальное значение j, и проекция вектора А на ось 0X изменяется со временем по гармоническому закону.
В таком представлении амплитуда колебаний есть модуль равномерно вращающегося вектора А, фаза колебаний - угол между вектором А и осью 0X, начальная фаза - начальный угол, круговая частота колебаний - угловая скорость вращения вектора А, смещение колеблющейся точки - проекция вектора А на ось 0X.
Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, нужно взять производную от выражения x = Аcos (wоt + jо) по времени: u = dx/dt = - Awоsin (wоt + jо) = umaxsin(wоt + jо), где umax = Awо - максимальная скорость (амплитуда скорости).
После преобразования выражение примет следующий вид: u = umaxcos [(p/2)+(wоt + jо)].
Сравнивая это выражение с гармоническим законом, можно заметить, что фаза скорости на p/2 больше фазы смещения, то есть скорость опережает по фазе смещение на p/2.
Продифференцировав выражение u = umaxsin (wоt + jо), можно найти ускорение: a = du/dt -Awо2cos(wоt + jо) = -amaxcos (wоt + jо), где amax = Awо - максимальное ускорение (амплитуда ускорения).;
По-другому можно записать: a = amaxcos[p+(wоt + jо)].
Из сравнения этого выражения с гармоническим законом следует, что фазы ускорения и смещения различаются на p, то есть эти величины изменяются в противофазе.

Подготовила Дрейд А.И. 2000 г